See Full PDF. Download PDF. Poniedziałek 22 czerwca 1998 DZIENNIKPOLSKI Rachunek prawdopodobieństwa Rozmowa z prof. RYSZARDĘM TADEUSIEWICZEM, rektorem Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie -Panie Rektorze, na jaki kierunek frekwencją cieszą się niektóre kierunki na -Gdyby Pańskie dziecko przygotowy w AGH najtrudniej będzie zdobyć
Opis Włodzimierz Łenski i Andrzej Patkowski "Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych - zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów", stan: bardzo dobry - (lekko podniszczona okładka), str: 205. "Książka, powstała w wyniku wieloletniej pracy z uczniami i studentami, zawiera w czterech rozdziałach cały kurs rachunku prawdopodobieństwa w postaci zadań wraz z komentarzami, objaśnieniami i rozwiązaniami. Ostatni, piąty rozdział to wybór zadań naturalnych z 1995 roku, z różnych województw, także rozwiązanych i skomentowanych. Zamierzeniem autorów było przełożenie na język akceptowany przez uczniów tajemnic działu matematyki sprawiającego wiele trudności. Indywidualne, odbiegające od tradycyjnego, szkolnego podejście do niektórych zadań, może zainteresować uczniów klas o profilu matematyczno-fizycznym oraz studentów matematyki wyższych szkół pedagogicznych i uniwersytetów." Witam w kolejnym odcinku powtórek do matury. Na dzisiejszej lekcji powtórka z rachunku prawdopodobieństwa.Na lekcji między innymi: rzut kostką i rzut monetą Wydawnictwo: Wydawnictwo Naukowe PWN Stan: UżywanaRodzaj okładki: Miękka Wymiar: Ilość stron: 203 Waga: kg Produkt niedostępny Powiadom mnie o dostępności tego produktu Uwagi: Oprawa wytarta, zarysowana,zakurzona,Rogi oprawy zagięte, Brzegi stron zakurzone, mocno zabrudzone,Adnotacje i pieczątki pobilioteczne, TIN: T01488421 Rok wydania: 1996 Rodzaj okładki: Miękka Uwagi: Brzegi stron zakurzone, Oprawa lekko wytarta, trochę zakurzona, Rogi oprawy trochę zagięte, TIN: T01809667 Rok wydania: 1996 Rodzaj okładki: Miękkaimport existing book. December 14, 2009. Edited by WorkBot. link works. April 1, 2008. Created by an anonymous user. Imported from Scriblio MARC record . Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna by Marek Fisz, 1954, Państwowe Wydawn., Naukowe edition, in Polish - [Wyd. 1.]
I. Doświadczenia losowe Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą . nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów: Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki . Opisując to doświadczenie przyjmujemy: 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie to liczba wyrzuconych oczek. 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu) lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce) lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia, III. Zdarzenia Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek. Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych . Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, B - wypadła liczba oczek nie większa niż 4, B = {1,2,3,4}, C - wypadła szóstka, C = {6}. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. IV. Działania na zdarzeniach Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich. nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B"). O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się. nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B"). Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B. Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa. V. Definicja prawdopodobieństwa Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem: Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp. Model uogólniony Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą, A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz. Wtedy A' - wypadły same reszki. i 4. Dla każdego zdarzenia A: 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to: 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5. VII. Prawdopodobieństwo warunkowe Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B). Przykłady 1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)? . Można było też zastosować wzór: , , , , 2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)? Zastosujmy wzór Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: Korzystając z tego można pójść dalej itd. Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew. VIII. Prawdopodobieństwo całkowite Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają, a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Formalnie oznacza to, że czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni . Na diagramie wygląda to np. tak Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie. Widać, że: Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy: Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to Uwaga. Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni W takim razie IX. Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A. Uwaga. Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’. X. Schemat Bernoulliego Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie. Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego. Przykłady schematu prób Bernolulliego 1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła a porażka jest wypadnięcie reszki 2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne", 3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki , 4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka). Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego. Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi Przykłady 1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia: a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę, b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki, c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę. a) b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd XI. Drzewa Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. Przykład takiego (problemu) doświadczenia. Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą? W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią. Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ? Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia . Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. . No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem. Podsumujmy krótko. zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół, krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół, węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia, gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie, prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa. Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu Oznaczamy zdarzenia: A - na kostce wypadło 6 oczek, A' - na kostce nie wypadło 6 oczek, B - wyciągnięto kulę białą, B' = C - wyciągnięto kule czarną. , lub inaczej Jeszcze jeden przykład W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna? Urna przed losowaniem: Oznaczamy zdarzenia: - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. XII. Wzór Bayesa Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Typowe przykłady 1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A? Wzór Bayesa Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0. Wtedy dla każdego i mamy gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite) Np. na diagramie Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Rozwiązanie przykładu 1. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów, B1 - rzucono monetą prawidłową, B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma. gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły. - prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła. Drzewo dla tego doświadczenia Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ... Tak rozwiążemy przykład 2. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: D - urządzenie jest wadliwe, A - urządzenie kupiono od dostawcy A, B - urządzenie kupiono od dostawcy B, C - urządzenie kupiono od dostawcy C. W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo, to Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio Drzewo dla tego doświadczenia Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%).
Literatura podstawowa: • J. Kłopotowski, Rachunek prawdopodobienstwa, SGH • J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, Oficyna Rachunek prawdopodobieństwa, albo inaczej probabilistyka, to dział w matematyce, który zajmuje się modelowaniem zjawisk przypadkowych. Chodzi tu o takie zjawiska, czy zdarzenia, nazywane losowymi, których wyniku zakończenia nie da się w sposób jednoznaczny przedstawić. Będziemy się więc tutaj zajmować rzutami kostką, monetą, przewidywać występowanie konkretnych zdarzeń. Dział ten zajmuje się badaniem prawidłowości dotyczących możliwości uzyskania oczekiwanego wyniku zdarzeń losowych. Oczywiście powstanie tego działu matematyki było związane z hazardem i poznania szans na wygranie w konkretnej grze losowej. Najważniejszym chyba matematykiem, który zajmował się tą dziedziną matematyki był J. Bernoulli. Dziś osiągnięcia tej dziedziny nauki wykorzystuje się w wielu innych dziedzinach, takich jak nauki przyrodnicze i techniczne. W tym miejscu należy też rozpatrywać elementy statystyki. Spis treści: Kombinatoryka Prawdopodobieństwo Elementy statystyki opisowej Kombinatoryka To wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Ma także zastosowanie w informatyce, teorii liczb i grafów. Ta dziedzina matematyki, której podwaliny powstały już w starożytności, a rozwój przypada na XVI w., zajmuje się obliczaniem ile jest zbiorów, które można utworzyć w zadany sposób z elementów danego skończonego zbioru elementów. Omówimy tutaj takie pojęcia jak: permutacja, kombinacja, wariacja. Permutacja Wyznacz liczbę permutacji zbioru. Kombinacja Wyznaczanie liczby kombinacji. Prawdopodobieństwo Zajmujemy się w tym miejscu definiowaniem i obliczaniem prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo Definicja klasyczna i aksjomatyczna prawdopodobieństwa. Elementy statystyki opisowej Definiujemy w tym miejscu podstawowe pojęcia statystyki, jakimi są: dominanta, średnia arytmetyczna, geometryczna, mediana, wariancja i odchylenie standardowe. Generalnie ten dział matematyki zajmuje się badaniem zjawisk, które występują masowo. Rachunek prawdopodobieństwa jest jednym z narzędzi badań w tym obszarze. Statystyka matematyczna zajmuje się statystyczną analizą danych oraz weryfikacją hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych. © 2016-07-05, ART-3198 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.Rachunek prawdopodobieństwa. Marlena Fila Agnieszka Kukla Katarzyna Pardyka. Restauracja. Zadanie: Slideshow 4859726 by tave
R for Data Science. Import, Tidy, Transform, Visualize, and Model Data - Wickham Hadley, Grolemund Garrett Informatyka i matematyka R. Buckminster Fuller: Historia (i tajemnica) wszechświata. Dramat D. W. Jacobs na podstawie życia, pracy i tekstów R. Buckminstera Fullera - D. W. Jacobs Teatr R. J. Palacio - Cud chłopak [audiobook PL] [mp3@64] Audiobooki R. U. R. - Karel Čapek Utwór dramatyczny (dramat, komedia, tragedia) - REMiniscencje - Tony Fletcher Muzyka - The Best of 1984-2005 - Thomas Ott Komiksy - Mariusz Czubaj Thriller/sensacja/kryminał Rabaty, premie i zwroty towarów - w podatkach i rachunkowości Inne Rabbi, który odnalazł Mesjasza - Carl Gallups Literatura faktu Rabbit-Proof Fence - Doris Pilkington Garimara Literatura faktu RabbitMQ Cookbook - Gabriele Santomaggio, Sigismondo Boschi Informatyka i matematyka Rabia - Halide Edip Adıvar Literatura piękna Rabin - Noah Gordon Literatura piękna Rabin bez głowy i inne opowieści z Chełma - Menachem Kipnis Satyra Rabin i CEO. Wskazówki dla lidera biznesu XXI wieku - Thomas D. Zweifel, Aaron L. Raskin Biznes, finanse Rabin Markus Jastrow i jego wizja reformy judaizmu. Studium z dziejów judaizmu w XIX wieku - Michał Galas Religia Rabin rozmawia z Jezusem - Jacob Neusner Religia Rabin z 84 ulicy - Warren Kozak Biografia/autobiografia/pamiętnik Rabka - praca zbiorowa Turystyka, mapy, atlasy Rabka i Dolina Raby - Stanisław Pagaczewski Turystyka, mapy, atlasy Rabka Zdrój i okolice. Jordanów, Spytkowice, Raba Wyżna, Nowy Targ, Mszana Dolna, Gorczański Park Narodowy. Mapa turystyczna. 1: 40 000. Compass Turystyka, mapy, atlasy Rabsztyn wczoraj i dziś - Jacek Sypień Turystyka, mapy, atlasy Rabunek a Prawo - Frédéric Bastiat Publicystyka literacka i eseje Rabusie w sanktuarium - Andrzej Irski Literatura młodzieżowa Rabusie! - praca zbiorowa Interaktywne, obrazkowe, edukacyjne Racal-Redac (Mały Leksykon) - Kagan Mariusz Informatyka i matematyka Race - Charles Pierre Baudelaire Poezja Raced. Ścigany uczuciem - K. Bromberg Literatura obyczajowa i romans Racer - Katy Evans Literatura obyczajowa i romans Races of Eberron Hobby Rach-ciach-ciach, czyli pchamy, pchamy! - Krzysztof Wyrzykowski, Tomasz Jaroński Biografia/autobiografia/pamiętnik Rachab - Francine Rivers Historyczna Rachab. Odnajdź swoje miejsce w rodowodzie Jezusa - Debora Sianożęcka Filozofia i etyka Rachatłukum - Jan Wolkers Literatura współczesna Rache znaczy zemsta - Piotr Bojarski Thriller/sensacja/kryminał Rachel Khoo's Kitchen Notebook - Rachel Khoo Kulinaria, przepisy kulinarne Rachel Rising tom 1: Cień śmierci - Terry Moore Komiksy Rachela Auerbach, Pisma z getta warszawskiego - Karolina Szymaniak Biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - Mikołaj Bażanow Biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - symfonik nieznany. Związki intertekstualne w twórczości symfonicznej Sergiusza Rachmaninowa - Iwona Hanna Świdnicka Muzyka Rachuba świata - Daniel Kehlmann Literatura współczesna Rachunek - Jonas Karlsson Literatura współczesna Rachunek błędów dla inżynierów - Zbigniew Kotulski, Wojciech Szczepiński Technika Rachunek dla dorosłego - Jan Twardowski Poezja Rachunek efektywności inwestycji - Waldemar Rogowski Biznes, finanse Rachunek efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych - Waldemar Rogowski Biznes, finanse Rachunek kosztów działań sterowanych czasem - Robert S. Kaplan, Steven R. Anderson Biznes, finanse Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza - Irena Sobańska Biznes, finanse Rachunek kosztów i wyników. Wybrane problemy podejmowania decyzji zarządczych - Jan Turyna, Beata Pułaska-Turyna Biznes, finanse Rachunek kosztów jakości - Marlena Ciechan-Kujawa Biznes, finanse RACHUNEK KOSZTÓW W JEDNOSTKACH GOSPODARCZYCH PODEJŚCIE - Edward Nowak Biznes, finanse Rachunek kosztów w zarządzaniu jednostkami badawczo-rozwojowymi - Agnieszka Nóżk Biznes, finanse Rachunek kosztów, podejście operacyjne i strategiczne - Irena Sobańska Biznes, finanse Rachunek kosztów, podstawy rachunkowości zarządczej i zarządzania finansami - Małgorzata Trentowska Biznes, finanse Rachunek kosztów. Wybrane zagadnienia w teorii i przykładach Nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek Krwi - David Morrell Thriller/sensacja/kryminał Rachunek opłacalności inwestowania - Edward Nowak Biznes, finanse Rachunek pamięci Publicystyka literacka i eseje Rachunek prawdopodobieństwa - Wiesław Szlenk Informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego - Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel Informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych, zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów - Włodziemierz Łenski, Andrzej Patkowski Informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych - Sabina Denkowska, Monika Papież Informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. I Informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. II Informatyka i matematyka Rachunek przepływów pieniężnych - Paweł Pabianiak Biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce - Karol Wajszczuk Biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce. Program komputerowy Cash Flow System - Karol Wajszczuk Inne Rachunek przetrwania - Barbara Wiza, Janusz Wiza Biografia/autobiografia/pamiętnik Rachunek różniczkowy i całkowy - Franciszek Leja Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej - Kazimierz Kuratowski Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 1 - Stefan Banach Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 2 - Stefan Banach Informatyka i matematyka Rachunek rózniczkowy i całkowy, tom 3 - Grigorij Fichtenholz Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom III - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz Informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz Nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek skupienia - Agnieszka Złota Poezja Rachunek sumienia - Igor Kozak Religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Bonifacy Knapik Religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Lech Kontkowski, George A. Aschenbrenner Religia Rachunek sumienia Jak codziennie ulepszać siebie, relacje z Bogiem i drugim człowiekiem - Krzysztof Osuch SJ Religia Rachunek sumienia Kościoła w świetle apokalipsy - Bogdan Giemza SDS Religia Rachunek sumienia z mistrzami chrześcijańskiej duchowości - Michał Wilk Religia Rachunek zemsty - Sam Bourne Literatura współczesna Rachunki geodezyjne - Stefan Hausbrandt Technika Rachunki włóczęgi - Jarosław Iwaszkiewicz Publicystyka literacka i eseje Rachunkowość 2008. Meritum - praca zbiorowa Biznes, finanse Rachunkowość a zintegrowane zarządzanie przedsiębiorstwem - Edward Nowak, Adriana Kaszuba-Perz Biznes, finanse Rachunkowość bankowa - Maria Niewiadoma, Danuta Mińska Biznes, finanse Rachunkowość budżetowa 2005 zbiór przepisów z wprowadzeniem - Halina Gajoch Biznes, finanse Rachunkowość część 1 - Anna Kuczyńska-Cesarz Biznes, finanse Rachunkowość dla ciebie Podstawy rachunkowości - Piotr Szczypa Biznes, finanse Rachunkowość dla menadżerów - Wiesław Janik Biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska Biznes, finanse Rachunkowość Finansowa - Jan Turyna Biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Kazimierz Sawicki Biznes, finanse Rachunkowość Finansowa - Zdzisław Kołaczyk Biznes, finanse Rachunkowość finansowa aktywów kompetecyjnych i kapitału intelektualnego. Nowy dział rachunkowości - Lesław Niemczyk Biznes, finanse Rachunkowość finansowa i podatkowa - Teresa Cebrowska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw Biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw - Józef Aleszczyk Biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach - Teresa Moss, Anna Zysnarska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach 2 - Anna Zysnarska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach z rozwiązaniami - Anna Zysnarska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw handlowych. Obrót kra - Teresa Martyniuk Biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw po przystąpieniu Polski do Wspólnoty Europejskiej - Kazimierz Sawicki Biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw według polskiego prawa bilansowego oraz Dyrektyw UE i MSR MSSF Część I - Kazimierz Sawicki Biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała Biznes, finanse Rachunkowość finansowa z elementami rachunku kosztów i sprawozdawczości finansowej Biznes, finanse Rachunkowość finansowa z uwzględnieniem MSSF - Józef Pfaff Inne Rachunkowość Finansowa Zbiór Zadań - Maria Kiedrowska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Aktywa trwałe, koszty działalności i ich rozliczenie, kalkulacja kosztów - Bożena Padurek, Małgorzata Szpleter Literatura popularnonaukowa Rachunkowość finansowa. Podręcznik. Ujęcie sprawozdawcze i ewidencyjne - Ewa Walińska Biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wybrane zagadnienia Biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wydanie drugie zaktualizowane i rozszerzone - Anna Karmańska Biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i innych jednostek nieprowadzących działalności gospodarczej - Kazimiera Winiarska Biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i organizacji pożytku publicznego - Wioletta Dworowska Biznes, finanse Rachunkowość grup kapitałowych - Marzena Remlein Biznes, finanse Rachunkowość i analiza finansowa dla inżynierów - Bożena Nadolna Technika Rachunkowość i budżetowanie w zarządzaniu finansami gminy - Marian Walczak, Magdalena Kowalczyk Biznes, finanse Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa według polskiego prawa bilansowego - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska Inne Rachunkowość instrumentów finansowych Biznes, finanse Rachunkowość jednostek budżetowych i gospodarki pozabudżetowej - Anna Zysnarska Biznes, finanse Rachunkowość Kurs podstawowy - Edward Nowak Biznes, finanse Rachunkowość majątku i kapitałów przedsiębiorstwa problemy wybrane - Ryszard Kamiński Biznes, finanse Rachunkowość małych firm - Teresa Kiziukiewicz Biznes, finanse Rachunkowość małych firm według wymogów funduszy unijnych - Marcin Osikowicz Biznes, finanse Rachunkowość można zrozumieć - Jarosław Tuczko Biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska Biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych. Wydanie 2 - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska Biznes, finanse Rachunkowość nie tylko dla księgowych - Teresa Kiziukiewicz Biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Danuta Małkowska Biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Dorota Dobija Biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Jan Matuszewicz Biznes, finanse Rachunkowość od podstaw. Zbiór zadań z komentarzem z rozwiązaniami - Danuta Małkowska Biznes, finanse Rachunkowość odpowiedzialności społecznej w kształtowaniu zasad nadzoru korporacyjnego - Gabrusewicz Tomasz Nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunkowość po polsku Biznes, finanse Rachunkowość podatkowa - Irena Olchowicz Biznes, finanse Rachunkowość Podstawowe założenia i zasady - Maria Gmytrasiewicz Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw - Ewa Potulska Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw 2 zbiór rozwiązań Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw - Bożena Padurek Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw - Bożena Padurek Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw - Bożena Padurek, Małgorzata Szpleter Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw - Bożena Padurek, Małgorzata Szpleter Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw. Część 2. Podręcznik - Zdzisław Kołaczyk Biznes, finanse Rachunkowość przedsiębiorstw. Podręcznik. Część 1. Wydanie 5. - Zdzisław Kołaczyk Biznes, finanse Rachunkowość sektora finansów publicznych - Teresa Kiziukiewicz Biznes, finanse Rachunkowość w biznesie - Ksenia Czubakowska Biznes, finanse Rachunkowość w jednostkach samorządu terytorialnego. Plany kont, ewidencja, sprawozdawczość - Zimny Artur Inne Rachunkowość w jednostkach sektora finansów publicznych - Teresa Kiziukiewicz Biznes, finanse Rachunkowość w otoczeniu nowych technologii - Monika Łada, Alina Kozarkiewicz Nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunkowość w zarządzaniu strategicznym przedsiębiorstwem - Bartłomiej Nita Biznes, finanse Rachunkowość zaawansowana Biznes, finanse Rachunkowość zaawansowana - Kazimiera Winiarska Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza - Sławomir Sojak Biznes, finanse Rachunkowość Zarządcza - Wiktor Gabrusewicz Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza analiza i interpretacja - Dorota Dobija Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza i controlling projektów - Monika Łada, Alina Kozarkiewicz Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów Tomy 1,2 - Gertruda Krystyna Świderska Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów w systemie informacyjnym przedsiębiors - Anna Karmańska Biznes, finanse Rachunkowość Zarządcza Przedsiębiorstw Rachunek Kosztów. ĆWiczenia - Danuta Sołtys Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza w arkuszu kalkulacyjnym - Sławomir Sojak Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza w banku /Rachunek kosztów działań abc w zarządzaniu bankiem komercyjnym - Agnieszka Piechocka-Kałużna Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza w hotelarstwie i gastronomii - Sławomir Sojak, Ryszard Kotaś Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza zorientowana na projekty - Marcin Klinowski Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza. Klucz do sukcesu - Piotr Szczypa Biznes, finanse Rachunkowość zarządcza. Metody i zastosowania Biznes, finanse Rachunkowość Zasady i Metody - Edward Nowak Biznes, finanse Rachunkowość, finanse i bilanse w praktyce przedsiębiorstw - Czesław Paczuła Biznes, finanse Rachunkowość. Kurs podstawowy - Edward Nowak Biznes, finanse Rachunkowość. Podręcznik Część 2 - Anna Kuczyńska-Cesarz Biznes, finanse Rachunkowość. Teoria ogólna i zadania z rozwiązaniami - Maria Niewiadoma Biznes, finanse Racibórz. Miasto na czasie - Iwona Baturo Turystyka, mapy, atlasy Racing Cars - Daynes Motoryzacja Racing For Glory: The Story of American Pharoah And His Run To Triple Crown Immortality - Michael Keneski Sport Racja stanu Thriller/sensacja/kryminał Racja stanu - Anka Kowalska Poezja Racja stanu:. zabić księdza - Kevin Ruane Historyczna Racja stanu. Janowi Olszewskiemu - Jerzy Urbanowicz, Elżbieta Urbanowicz Historia Racje i osoby - Derek Parfit Filozofia i etyka Racjonalizacja pracy bibliotecznej : problemy, kierunki, metody - Zbigniew Żmigrodzki Literatura popularnonaukowa Racjonalizm a wiedza tajemna - Teresa Lubańska Ezoteryka, senniki, horoskopy Racjonalna terapia zachowania. Podręcznik terapii poznawczo-behawioralnej - Maxie C. Maultsby Nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Racjonalne podstawy stosowania doustnych leków przeciwcukrzycowych - Józef Drzewoski Zdrowie, medycyna Racjonalne podstawy wiary - Sebastian Bednarowicz Religia Racjonalne podstawy wiary. Teksty publikowane na łamach "Miłujcie się". Religia Racjonalne public relations. Budowa działu, instrumenty, studia przypadków - Zdzisław Knecht Biznes, finanse Racjonalność a nauka - Zygmunt Bauman Nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Racjonalność decyzji - Tadeusz Tyszka, Tomasz Zaleśkiewicz Biznes, finanse Racjonalność i jej alternatywy - Thomas C. Schelling Biznes, finanse Racjonalność i komunikacja. Filozoficzne podstawy teorii społecznej Jürgena Habermasa - Tomasz Maślanka Filozofia i etyka Racjonalność i konflikt wierzeń religijnych - Kazimierz Kondrat Religia RACJONALNOŚĆ KONSUMPCJI I ZACHOWAŃ KONSUMENTÓW - Ewa Kieżel Biznes, finanse Racjonalność oraz uwarunkowania procesów terapeutycznych osób niepełnosprawnych - Anna Klinik Literatura popularnonaukowa RACJONALNOŚĆ PROCESU KSZTAŁCENIA Studium z polityki oświatowej i pedagogiki 1 - Bogusław Śliwerski, Renata Nowakowska-Siuta Literatura popularnonaukowa Racjonalność w ekonomii - Vernon L. Smith Biznes, finanse Racjonalność wiary - Stanisław Wszołek Filozofia i etyka Racjonalność współdziałań. Szkice z filozofii polityki - Tadeusz Buksiński Filozofia i etyka
1. Rachunek prawdopodobieństwa - co to jest? Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk przypadkowych (takich jak np. loterie, rzuty monetą, rzuty kostką do gry). Określa, jaka jest szansa na to, że coś się zdarzy. Rachunek prawdopodobieństwa bazuje na kombinatoryce. 2.
Dla niektórych doświadczeń losowych ich częstość, przy dużej liczbie doświadczeń, koncentruje się wokół pewnej liczby. Intuicyjnie można więc określić prawdopodobieństwo, jako liczbę, wokół której stabilizuje się częstość. Rachunek prawdopodobieństwa dotyczy więc zdarzeń występujących w powtarzalnych
.